EDO - Wronskiano: LI ou LD?

Você ainda se lembra do que é um conjunto Linearmente Independente (LI)? E Linearmente Dependente (LD)? Você já viu isso alguma vez em sua vida? Geralmente se estuda esses conceitos em cursos de Álgebra Linear. É sobre isso que vamos falar um pouco nesta postagem.

Dado um Espaço Vetorial $E$ e os vetores $v_1, v_2, \cdots, v_n\in E$ dizemos que o conjunto $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ é Linearmente Independente (LI) se, e somente se, a combinação linear nula \begin{equation}c_1.v_1+c_1.v_2+ \cdots+c_n.v_n=0\end{equation} admitir apenas a solução trivial, ou seja $c_1=0$, $c_2=0$, $\cdots c_n=0$. Se a combinação linear nula admitir outra solução que não seja a trivial, então dizemos que o conjunto é Linearmente Dependente (LD).

Importante: quando um conjunto é LI, não é possível escrever um dos elementos desse conjunto como uma combinação linear dos outros. Quando um conjunto é LD então um dos vetores do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Exemplo 1

$v_1=(1,0,0)$,  $v_2=(0,1,0)$ e $v_3=(0,0,1)$ formam um conjunto LI. Não é difícil verificar que $c_1.v_1+c_1.v_2+c_3.v_3=0$ se, e somente se, $c_1=0$, $c_2=0$ e $c_3=0$ (o cálculo é bem simples).

Exemplo 2

Considere $v_1=(1,3)$ e $v_2=(2,6)$. Obviamente que a combinação linear nula $$c_1v_1+c_2v_2=0\Leftrightarrow c_1(1,3)+c_2=0.$$ Não é difícil perceber que $c_1=-2$ e $c_2=1$ é uma solução não trivial da equação anterior. Logo, o conjunto $\{v_1,v_2\}$ é LD

Bom, esses dois exemplos foram um "esquenta" para você se lembrar do que estudou em Álgebra Linear. Nosso interesse aqui está em considerar um conjunto com funções. Seja $\mathbb{F}=\{f_1, f_2, \cdots f_n\}$ um conjunto de funções diferenciáveis em um intervalo I com pelo menos $n-1$ derivadas. Queremos saber quando podemos dizer que esse conjunto de funções é LI. Queremos, portanto, investigar o que ocorre quando tomamos uma combinação linear nula $$c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n=0.$$ Note que podemos derivar ambos os membros e obter uma nova equação. Ficaremos então com
$$
\left\{
\begin{matrix}
c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n&=&0\\
c_1f_1'+c_2f_2'+\cdots+c_nf_n'&=&0
\end{matrix}
\right.
$$
Procedendo desta forma até a derivada de ordem $n-1$ teremos o seguinte sistema:
$$
\left\{
\begin{matrix}
c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n&=&0\\
c_1f_1'+c_2f_2'+\cdots+c_nf_n'&=&0\\
\vdots &\vdots&\vdots\\
 c_1f_1^{(n-1)}+c_2f_2^{(n-1)}+\cdots+c_nf_n^{(n-1)}&=&0
\end{matrix}
\right.
$$
Escrevendo na forma matricial teremos

$$
\left[
\begin{matrix}
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n
\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
0\\ 0\\ \vdots\\ 0
\end{matrix}
\right]$$
O que sabemos, lá da disciplina de Álgebra Linear sobre existência e unicidade de soluções de sistemas lineares? Basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero, certo? Isso garante que a solução do sistema exista e seja única. Já sabemos que $c_1=0$, $c_2=0$, $\cdots c_n=0$ é uma solução e assim, será única se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero no intervalo I.

Esse determinante recebe um nome especial de Wronskiano, em homenagem ao matemático Josef Hoëné-Wronski e escrevemos:

$$
W(f_1, f_2,\,\ldots,\, f_n) =
\begin{vmatrix}
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
$$
Vamos ver alguns exemplos? Os vídeos do meu canal que tratam desse assunto ficarão logo a seguir. Assim, ficará fácil ver mais sobre o assunto.

(p.128 Ex. 17)

Determinar se o conjunto de funções $\{5,\cos^2(x), \sin^2(x)\}$ é LI ou LD no intervalo $(-\infty, \infty)$.

..

(p.128 Ex18)

Determinar se o conjunto de funções $\{\cos(2x),1, \cos^2(x)\}$ é LI ou LD no intervalo $(-\infty, \infty)$.

..

Conjunto Fundamental de Soluções de uma EDO

Data uma EDO linear de ordem n $$a_n(x).y^{(n)}+a_{n-1}(x).y^{(n-1)}+\cdots a_1(x). y' +a_0(x)=0),$$ dizemos que o conjunto de funções $\{y_1,\,y_2,\,\cdots \,y_n\}$ é um conjunto fundamental de soluções da EDO dada se cada uma das funções é uma solução da EDO e o conjunto de funções é um conjunto LI.

(p.128 Ex24)

Verificar se as funções $f_1(x)=\cosh(2x)$ e $f_2(x)=\sinh(2x)$ formam um conjunto fundamental de soluções da EDO $y''-4y=0$

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Outros vídeos serão adicionados a seguir.